Question

（2001•东城区）已知关于x的方程x²-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，实数k的值．

Answer 1

分析：由方程有两个实数根，可得根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，然后设出方程的两个根分别为x₁，x₂，用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据两根的平方和等于4及完全平方公式列出关于k的方程，求出方程的解，得到k的值，代入关于k的不等式中检验，可得出满足题意的k的值．

解答：解：∵方程x²-（k-1）x+k+1=0有两个实数根，
∴b²-4ac=（k-1）²-4（k+1）=k²-6k-3≥0，
可设方程的两个根分别为x₁，x₂，
则有x₁+x₂=-

b

a

=k-1，x₁x₂=

c

a

=k+1，
又两个实数根的平方和等于4，即x₁²+x₂²=4，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=x₁²+x₂²=4，即（k-1）²-2（k+1）=4，
整理得：k²-4k-5=0，即（k-5）（k+1）=0，
解得：k=5或k=-1，
当k=5时，k²-6k-3=-8＜0，不合题意，舍去，
当k=-1时，k²-6k-3=4＞0，符合题意，
则实数k的值为-1．

点评：此题考查了根与系数的关系，完全平方公式的运用，以及根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有解，即b²-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，熟练掌握此关系是解本题的关键．