Question

经过原点和G（4，0）的两条抛物线y₁=a₁x²+b₁x，y₂=a₂x²+b₂x，顶点分别为A，B，且都在第1象限，连接BA交x轴于T，且BA=AT=3．
（1）分别求出抛物线y₁和y₂的解析式；
（2）点C是抛物线y₂的x轴上方的一动点，作CE⊥x轴于E，交抛物线y₁于D，试判断CD和DE的数量关系，并说明理由；
（3）直线x=m，交抛物线y₁于M，交抛物线y₂于N，是否存在以点M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵BA=AT=3，
∴A（2，3），B（2，6）．
∵y₁=a₁x²+b₁x过A（2，3）和G（4，0）．
依题意得：
解得
∴．
同理．

（2）CD=ED．
证明；设OE=t，0＜t＜4．
∵D在．上，
∴DE=．
∵C在上，
∴CE=．
∴CD=CE-DE=（）-（）=．
∴CD=DE．

（3）由于MN∥BT，当假设存在四边形BTNM为平行四边形时，则BT=MN=6．
∵
∴MN=．
依题意，得：.=-6，此方程无解，=6，
解之得：∴．
∴存在使得以点M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形．
分析：（1）结合图形和已知，可得出A和B点的坐标，又已知G点的坐标，分别代入解析式中，即可得出两函数式的解析式；
（2）根据题意，可分别用含t的表达式将CD和CE表示出，即可得出CD和DE之间的关系．
（3）假设存在四边形BTNM为平行四边形时，分别表示出M和N的坐标，并写出MN的长度，解方程即可得出m的值．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．