如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连接AX．求证： $数学公式$ ．

证明：设AX与⊙O相交于点A₁，连接OB，OC，OA₁．又M为BC的中点，
所以，连接OX，它过点M．
∵OB⊥BX，OX⊥BC，
∴XB²=XM•XO．①
又由切割线定理得XB²=XA₁•XA．②
由①，②得 $\text{[math]}$ ，
∴△XMA∽△XA₁O，
∴ $\text{[math]}$ ．
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOX=∠BAC，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：设AX与⊙O相交于点A₁，连接OB，OC，OA₁．连接OX过点M，求得XB²=XM•XO．①；利用切割线定理求得XB²=XA₁•XA．②；由①，②求证△XMA∽△XA₁O，即可求证．
点评：此题考查了相似三角形判定与性质、切线长定理、切割线定理等知识点，综合性较强，有一定的难度，此题的关键是设AX与⊙O相交于点A₁，连接OB，OC，OA₁．又M为BC的中点，所以，连接OX，它过点M．然后利用切割线定理和相似三角形的性质来求解的．

练习册系列答案

开卷8分钟英语阅读理解与完形填空系列答案

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知锐角△ABC的边BC的长为6，面积为12，PQ∥BC，点P在AB上，点Q在AC上，四边形RPQS为正方形（RS与A在PQ的异侧），其边长为x，正方形RPQS与△ABC的公共面积为y．
（1）当正方形RPQS的边RS恰好落在BC上时，求边长x．

（2）当RS不落在BC上时，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．（可以将图形画在备用的图形中）

（3）求y的最大值．

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科目：初中数学 来源： 题型：

（2011•裕华区二模）如图①，将两个等腰直角三角形叠放在一起，使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合，并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转，在旋转过程中，当下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系．
（1）实验与操作：
如图②，如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形，观察这三个正方形的面积之间的关系；
（2）猜想与探究：
如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
我们来证明线段CD与线段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

请你继续解答：
①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
（3）拓广与运用：
如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；
（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．