Question

△ABC的三边长分别是a，b，c，下列条件：①∠A=∠B-∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a：b：c=5：12：13；④a²=（b+c）（b-c）；⑤三边之长为3²，4²，5²，其中能判断△ABC是直角三角形的是

①③④

．

Answer 1

分析：①求出∠B=90°，可判断△ABC是直角三角形；
②求出最大角∠C=75°，可判断△ABC不是直角三角形；
③可以得出a²+b²，=c²，可判断△ABC是直角三角形；
④可以得出a²+c²=b²，可判断△ABC是直角三角形；
⑤由于9²+16²≠25²，可判断△ABC不是直角三角形．

解答：解：①∵∠A=∠B-∠C，
∴∠B=∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
解得∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，
所以此选项正确；
②∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=75°，
∴△ABC是锐角三角形，
所以此选项错误；
③∵a：b：c=5：12：13，
设a=5x，b=12x，c=13x，
∴a²+b²=169x²=c²，
∴△ABC是直角三角形，
所以此选项正确；
④∵a²=（b+c）（b-c），
∴a²=b²-c²，
∴a²+c²=b²，
∴△ABC是直角三角形，
所以此选项正确；
⑤∵3²=9，4²=16，5²=25，
∴9²+16²=337，25²=625，
∴△ABC不是直角三角形，
所以此选项错误；
故答案是①③④．

点评：本题考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活掌握并使用勾股定理的逆定理．