Question

如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D停止，当运动时间为

 

秒时，△MBN为等腰三角形．

Answer 1

考点：矩形的性质,等腰三角形的性质

专题：压轴题,动点型

分析：分①点M在AB上，点N在BC上时，BM=BN，列出方程其解即可，②点M在BC上，点N在CD上时，表示出BM、CM、CN，再根据勾股定理列式表示出MN²，然后根据BM=MN列出方程其解即可；③点M、N都在C、D上时，表示出MN、CM，再根据勾股定理分两种情况列式表示出BM（或BN），然后根据BM=MN（或BN=MN）列出方程求解即可，④点M在AB上，点N在CD上时，根据等腰三角形的性质，CN=

1

2

BM，然后列式求解即可．

解答：解：①如图1，点M在AB上，点N在BC上时，t＜4，BM=10-2t，BN=t，
∵BM=BN，
∴10-2t=t，
解得t=

10

3

，
②如图2，点M在BC上，点N在CD上时，5＜t＜7，BM=2t-10，CM=4-（2t-10）=14-2t，
CN=t-4，
在Rt△MCN中，MN²=（14-2t）²+（t-4）²，
∵BM=MN，
∴（2t-10）²=（14-2t）²+（t-4）²，
整理得，t²-24t+112=0，
解得t₁=12-4

2

，t₂=12+4

2

（舍去），
③如图3，点M、N都在C、D上时，t＞7，若点M在点N的右边，则CM=2t-14，MN=t-（2t-14）=14-2t，
此时BM²=（2t-14）²+4²，
∵BM=MN，
∴（2t-14）²+4²=（14-2t）²，无解，
若点M在点N的左边，则CN=t-4，
MN=（2t-14）-（t-4）=t-10，
此时BN²=（t-4）²+4²，
∵BN=MN，
∴（t-4）²+4²=（t-10）²，
整理得，t=

17

3

（不符合题意，舍去），
④如图④，点M在AB上，点N在CD上时，BM=10-2t，CN=t-4，
由等腰三角形三线合一的性质，CN=

1

2

BM，
所以，t-4=

1

2

（10-2t），
解得t=

9

2

，
综上所述，当运动时间为

10

3

或（12-4

2

）或

9

2

秒时，△MBN为等腰三角形．
故答案为：

10

3

或（12-4

2

）或

9

2

．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于要分情况讨论．