解：（1）CD=BE．理由如下：
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴CD=BE．
（2）△AMN是等边三角形．理由如下：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD
∵M、N分别是BE、CD的中点，
∴BM=
BE=
CD=CN，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形．
设AD=a，则AB=2a．
∵AD=AE=DE，AB=AC，
∴CE=DE．
∵△ADE为等边三角形，
∴∠DEC=120°，∠ADE=60°，
∴∠EDC=∠ECD=30°，
∴∠ADC=90°．
∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°，
∴CD=
a．
∵N为DC中点，
∴DN=
，
∴AN=
．
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S
△ADE：S
△ABC：S
△AMN=a
2：（2a）
2：（
）
2=1：4：
=4：16：7
解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：
∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点，
∴AM=AN，NC=MB．
∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形，
设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，
易证BE⊥AC，
∴BE=
，
∴EM=
，
∴AM=
，
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S
△ADE：S
△ABC：S
△AMN=a
2：（2a）
2：（
）
2=1：4：
=4：16：7．
分析：（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．
（2）可以证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比．
点评：此题考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质，勾股定理及旋转的性质等知识的综合运用及推理论证能力．
利用三角形内角和，探究四边形内角和：
