Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=10，AB=3，BC=14，点E、F分别在BC、DC上，将梯形ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD上一点C'，再沿C'G折叠四边形C'ABE，使AC'与C'E重合，且C'A过点E．
（1）试证明C'G∥EF；
（2）若点A'与点E重合，求此时图形重叠部分的面积．

Answer 1

解：（1）由折叠知：∠1=∠C′EC，∠2=∠AC′E；
∵AD∥BC，
∴∠C′EC=∠AC′E，
∴∠1=∠2，
∴C′G∥EF；

（2）过C′作C′H⊥BC于H，设AC′=C′A′=A′C=x，则A′H=14-2x，
∴x²=3²+（14-2x）²，
解得：x₁=5，x₂=＞7（舍去），
∴AC′=C′A′=A′C=5，C′D=5；
∴C′D=A′C，C′D∥A′C，
∴四边形C′A′CD是菱形，
∴点F与点D重合，
∵∠AC′G=∠A′C′G，∠A′GC′=∠AC′G，
∴∠A′GC′=∠A′C′G，
∴A′G=A′C′=5，
∴此时图形重叠部分的面积=平行四边形C′GA′D的面积=GA′•C′H=15．

分析：（1）首先由折叠知：∠1=∠C′EC，∠2=∠AC′E，即可证得：AD∥BC，然后由平行线的性质与判定，即可证得：C′G∥EF；
（2）首先过C′作C′H⊥BC于H，设AC′=C′A′=A′C=x，则由勾股定理即可求得x的值，又由C′D=A′C，C′D∥A′C，可证得四边形C′A′CD是菱形，则可得：此时图形重叠部分的面积=平行四边形C′GA′D的面积=GA′•C′H，则问题得解．
点评：此题考查了平行线的判定与性质，菱形的判定与性质，以及折叠的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．