Question

如图，直线AB过点A（m，0）、B（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函数的图象与直线AB交于C、D两点，P为双曲线上任意一点，过P点作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．
（1）用含m、n的代数式表示△AOB的面积S；
（2）若m+n=10，n为何值时S最大并求出这个最大值；
（3）若BD=DC=CA，求出C、D两点的坐标；
（4）在（3）的条件，过O、D、C点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？

Answer 1

解：（1）S=OA•OB=mn

（2）由题意可得：m=10-n，
S=mn=n（10-n）=-（n-5）²+
∴当n=5时，Smax=．

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有

解得
∴y=-x+n
联立反比例函数有：
，
解得，
∴C（，），D（，）
∵BD=DC=CA，
∴x_C=2x_D
即=2×，
解得n=．

（4）当n=时，易知C（m，），D（m，3）
根据抛物线的对称性可知，抛物线必过（2，0）点．
设抛物线的解析式为y=ax（x-2），依题意有：
，
解得m=
设P点的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），S_□ROQP=ab=m=．
分析：（1）已知了A、B的坐标，即可得出OA、OB的长，根据三角形的面积公式即可求出S的表达式．
（2）将（1）S表达式中的m用n替换掉，即可得出S、n的函数关系式．根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的n的值．
（3）可联立直线AB和反比例函数的解析式，得出C、D的坐标，由于D、C是AB的三等分点，因此C点的横坐标是D点横坐标的2倍据此可求出两点的坐标．
（4）本题的关键是求出m的值，可根据C得到n的值表示出C、D的坐标，已知了抛物线的对称轴为x=1，因此抛物线与x轴的另一交点坐标为（2，0），然后将C、D坐标代入抛物线中，即可求得m的值．而矩形的面积实际是P点横坐标与纵坐标的积，也就是m的值．
点评：本题是二次函数与反比例函数、一次函数的综合题．考查了函数图象交点、图象面积的求法等知识点．