Question

设n为正整数，m=12n．已知m的约数个数是n的约数个数的2倍，则符合这种情形的最小的n是（　　）位数．

A、1

B、2

C、3

D、不小于4

Answer 1

分析：假设n=2^a₁×3^a₂×（k₃）^a₃×…（k_p）^a_p，则n的约数个数为（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），根据m=12n，则m约数个数为（3+a₁）（2+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），在由m的约数个数是n的约数个数的2倍，即可求出风和这种情形的最小的n值．

解答：解：假设n=2^a₁×3^a₂×（k₃）^a₃×…（k_p）^a_p，
则n的约数个数为（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），
m=n×2²×3，则m约数个数为（3+a₁）（2+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），
所以（3+a₁）（2+a₂）=2（1+a₁）（1+a₂），
化简得a₂（a₁-1）=4，
则a₂=1或2或4，则n最小值为2^a₁×3^a₂，代进去，求得最小值为2³×3²=72，
故选B．

点评：本题考查整数问题的综合运用，解题关键是设出n=2^a₁×3^a₂×（k₃）^a₃×…（k_p）^a_p，难度较大．