Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，请直接写出P'点坐标，并判断点P'是否在该抛物线上．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）两点
∴把（-1，0）B（3，0）代入抛物线得：a=-1，b=2，
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+3．
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，
得，
解得k=-2，b=6，
直线BD解析式为y=-2x+6，
S=PE•OE，
S=PE•OE=xy=x（-2x+6）=-x²+3x，
∵顶点D的坐标为（1，4），B（3，0）
∴1＜x＜3，
∴S=-x²+3x（1＜x＜3），
S=-（x²-3x+）+，
=-（x-）²+，
∴当x=时，S取得最大值，最大值为；

（3）当S取得最大值，x=，y=3，
∴P（，3），
∴四边形PEOF是矩形．
作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E，P′F．
过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M，
设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E=，
在Rt△P′MC中，由勾股定理，
（）²+（3-m）²=m²，
解得m=，
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=，
由△EHP′∽△EP′M，
可得，EH=．
∴OH=3-．
∴P′坐标（-，）．
不在抛物线上．
分析：（1）本题需先根据抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线y=ax²+bx+3即可求出它的解析式．
（2）本题首先设出BD解析式y=kx+b，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值．
（3）本题需先根据（2）得出最大值来，求出点P的坐标，得出四边形PEOF是矩形，再作点P关于直线EF的对称点P′设出MC=m，则MF=m．从而得出P′M与P′E的值，根据勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐标，判断出不在抛物线上．
点评：本题主要考查了二次函数的综合，在解题时要根据抛物线的性质，再结合相似三角形的性质，去求答案是解题的关键．