Question

已知：关于x的一元二次方程kx²+2x+2-k=0．
（1）若原方程有两个实数根，求实数k的取值范围；
（2）设上述方程的两个实数根分别为x₁、x₂，求：当k取哪些整数时，x₁、x₂均为整数；
（3）设上述方程的两个实数根分别为x₁、x₂，若|x₁-x₂|=2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据判别式的意义得到k≠0且△=2²-4k（2-k）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先由根与系数的关系得到x₁+x₂=-

2

k

，根据整数的整除性得到k=±1，±2，再利用求根根式得到x₁=

k-3

2k

，x₂=

-k-1

2k

，然后判断出当k取整数±1时，x₁、x₂均为整数；
（3）根据根与系数的关系得x₁+x₂=-

2

k

，x₁•x₂=

2-k

k

，再把|x₁-x₂|=2变形得到（x₁-x₂）²=4，（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4，然后利用整体代入的方法得到关于k的方程，再解方程即可．

解答：解：（1）根据题意得k≠0且△=2²-4k（2-k）≥0，
解得k≠0；
（2）∵x₁+x₂=-

2

k

，
而k为整数，x₁、x₂均为整数，
∴k=±1，±2，
∵△=（k-1）²，
x=

-2±(k-1)

2k

，
∴x₁=

k-3

2k

，x₂=

-k-1

2k

，
∴当k取整数±1时，x₁、x₂均为整数；
（3））根据题意得x₁+x₂=-

2

k

，x₁•x₂=

2-k

k

，
∵|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4，
∴（-

2

k

）²-4×

2-k

k

=4，
∴k=

1

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．