Question

如图，⊙O、⊙B相交于点M、N，点B在⊙O上，NE为⊙B的直径，点C在⊙B上，CM交⊙O于点A，连接AB并延长交NC于点D，求证：AD⊥NC．

Answer 1

证明：连接EC，
∵NE为圆B的直径，
∴NC⊥CE，即∠NCE=90°，
∵四边形ABNM为圆O的内接四边形，
∴∠ABE=∠M，
∵∠ABE=∠NBD，
∴∠M=∠NBD，
∵∠M=∠E，
∴∠NBD=∠E，
∴EC∥BD，
∴∠BDN=∠NCE=90°，
则AD⊥NC．
分析：连接EC，由NE为圆B的直径，得到NC垂直于EC，由ABNM为圆O的内接四边形，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再利用对顶角相等及同弧所对的圆周角相等，根据等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到EC与BD平行，即可得到AD垂直于NC．
点评：此题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．