Question

18．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
（$\sqrt{1}$）²+1=2　　　S₁=$\frac{\sqrt{1}}{2}$
（$\sqrt{2}$）²+1=3　　　S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（$\sqrt{3}$）²+1=4　　　S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
…
（1）推算出S₁₀的值；
（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（3）求出S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值．

Answer 1

分析 （1）由给出的数据直接写出OA₁₀²的长，从而得到S₁₀的值即可；
（2）分别求出OA₁²，OA₂²，OA₃³…和S₁、S₂、S₃…S_n，找出规律即；
（3）首先求出S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²的公式，然后把n=10代入即可．

解答 解：（1）∵OA₁²=1，OA₂²=2，OA₃²=3，
∴OA₁₀²=10，
∵S₁=$\frac{\sqrt{1}}{2}$，S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…
∴S₁₀=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
（2）由（1）得：OA_n²=n，S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$；
（3）∵S₁²=$\frac{1}{4}$，S₂²=$\frac{2}{4}$，S₃²=$\frac{3}{4}$，…S₁₀²=$\frac{10}{4}$，
S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²=$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$+…+$\frac{10}{4}$=$\frac{55}{4}$．

点评 本题主要考查勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练运用勾股定理，此题难度不大．