Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3），线段BC与抛物线的对称轴相交于点P．M、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持∠MPN=90°不变．连结MN，设MC=m．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）用含m的代数式表示△PMN的面积S，并求S的最大值；
（3）以PM、PN为一组邻边作矩形PMDN，当此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内（含边界）时，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是y=x²-2x-3；

（2）作PE⊥y轴于点E，设抛物线的对称轴与x轴相交于点F，
易得抛物线的对称轴为直线x=1，直线BC的解析式为y=x-3，
∴P（1，-2），
∴E（0，-2），ME=|m-1|，
∴，
∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
又∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△MPE∽△NPF，
∴，
∴PN=2PM，
∴，
∵0≤m≤3，
∴当m=3时，S有最大值，最大值是5；

（3）①当点D在x轴上时，点D、M显然分别与点O、E重合，
此时，m=1；
②当点D在抛物线上时（如图2），作DG⊥x轴于点G，
∠MPE+∠NPE=90°，∠NPE+∠NPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
又∵∠DNG+∠PNF=90°，∠NPF+∠PNF=90°，
∴∠DNG=∠NPF，
∴∠MPE=∠DNG，
在△MPE和△DNG中，
，
∴△MPE≌△DNG（AAS），
∴DG=ME=1-m，NG=PE=1，
由（2）得：，故NF=2ME=2-2m，
∴OG=1-ON=NF=2-2m，
∴D（2m-2，m-1），
代入抛物线解析式得：m-1=（2m-2）²-2（2m-2）-3，
整理得：4m²-13m+6=0，
解得：，（不合题意，舍去），
∴时，点D恰好在抛物线上，
∴当时，此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内．
分析：（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线解析式，可得出a、b、c的值，继而得出抛物线解析式；
（2）作PE⊥y轴于点E，设抛物线的对称轴与x轴相交于点F，先求出直线BC解析式，确定点P的坐标，在Rt△PME中表示出PM，证明△MPE∽△NPF，利用对应边成比例得出PN的表达式，继而可得出S关于m的表达式，再由m的取值范围，可得出S的最大值；
（3）找到两个极值点，①点D在x轴上，此时很容易得出m=1；②点D在抛物线上，作DG⊥x轴于点G，证明△MPE≌△DNG，得出DG=ME=1-m，NG=PE=1，由（2），得出NF=2ME=2-2m，则可得到OG=1-ON=NF=2-2m，得出点D的坐标，代入抛物线解析式得出m的值，综合起来可得出m的取值范围．
点评：本题是二次函数的综合题型，涉及了待定系数法求二次函数解析式、动点问题、根据边界点确定动取值范围，解答本题需要一定的耐心及对基础知识的熟练掌握，同学们要注意培养自己解答综合题的能力，做到将所学知识点融会贯通．