Question

如图，△ABC与△ADE有公共的顶点A，AB=k•AC，AD=k•AE，且∠BAC=∠DAE．点G、P、H分别为DE、BE、BC的中点．
（1）如图1，当k=1时，猜想线段PG与PH的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k≠1时，猜想线段PG与PH的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）PD=PH．连接BD、CE，
∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠E，
∵AC=AB，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
∵点G、P、H分别为DE、BE、BC的中点，
∴根据中位线定理可得PG=BD，PH=EC，
∴PG=PH．

（2）PD=k•PH．连接BD、CE，
∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=k•AC，AD=k•AE，
∴△ABD∽△ACE，
∴BD=k•CE，
∵点G、P、H分别为DE、BE、BC的中点，
∴根据中位线定理可得PG=BD，PH=EC，
∴即得PG=k•PH．
分析：（1）连接BD、CE，首先证明△ABD≌△ACE（SAS），得BD=CE，根据中位线定理可得PD=BD，PH=EC，即得PD=PH．
（2）连接BD、CE，首先证明△ABD∽△ACE，得BD=k•CE，根据中位线定理可得PD=BD，PH=EC，即得PD=k•PH．
点评：本题主要考查三角形全等及相似的判定和性质、中位线定理等知识点，考查学生对知识的综合运用能力．