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    已知：△ABC是任意三角形．
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    （1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A．
    （2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且
    AM
    AB
    =
    1
    3
    ，
    AN
    AC
    =
    1
    3
    ，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．
    （3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且
    AM
    AB
    =
    1
    2010
    ，
    AN
    AC
    =
    1
    2010
    ，点P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=
     
    ．
    （请直接将该小问的答案写在横线上）
    分析：（1）由三角形的中位线定理可得到四边形AMPN是平行四边形，故有∠MPN=∠A；
    （2）由平行线分线段成比例，可得到四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，有∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，故∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A．
    （3）类似地，可得到∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=∠A．
    解答：精英家教网（1）证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，
    ∴线段MP、PN是△ABC的中位线，
    ∴MP∥AN，PN∥AM，（1分）
    ∴四边形AMPN是平行四边形，（2分）
    ∴∠MPN=∠A．（3分）

    （2）解：∠MP1N+∠MP2N=∠A正确．（4分）
    如图所示，连接MN，（5分）
    ∵
    AM
    AB
    =
    AN
    AC
    =
    1
    3
    ，∠A=∠A，
    ∴△AMN∽△ABC，
    ∴∠AMN=∠B，
    MN
    BC
    =
    1
    3
    ，
    ∴MN∥BC，MN=
    1
    3
    BC，（6分）
    ∵点P1、P2是边BC的三等分点，
    ∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，
    ∴四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，
    ∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC，
    （7分）
    ∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，
    ∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A．

    （3）解：∠A．
    理由：连接MN，
    ∵
    AM
    AB
    =
    AN
    AC
    =
    1
    2010
    ，∠A=∠A，
    ∴△AMN∽△ABC，
    ∴∠AMN=∠B，
    MN
    BC
    =
    1
    2010
    ，
    ∴MN∥BC，MN=
    1
    2010
    BC，
    ∵P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，
    ∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，…，MN与P2009C平行且相等，
    ∴四边形MBP1N、MP1P2N、…、MP2009CN都是平行四边形，
    ∴MB∥NP1，MP1∥NP2，…，MP2009∥AC，
    ∴∠MP1N=∠BMP1，∠MP2N=∠P1MP2，…，∠BMP2009=∠A，
    ∴∠MP1N+∠MP2N=∠BMP1+∠P1MP2+…+∠P2008MP2009=∠BMP2009=∠A．
    点评：本题利用了三角形中位线定理及平行线分线段成比例的性质求解，从三角形的二等分点到n等分点，从特殊到一般，培养学生的探究能力．
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    ⑵如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．

    ⑶如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2、……、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________．

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    （请直接将该小问的答案写在横线上．）

     

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