Question

8．如图所示，直线l：y=3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B，C和D（-3，0）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上一动点，是否存在这样的点M使△BDM是以BD为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P（-2，$\frac{3}{4}$）是对称轴上一点，过点P的任意一条与y轴不平行的直线与抛物线交于两点N₁，N₂，说明$\frac{{N}_{1}P•{N}_{2}P}{{N}_{1}{N}_{2}}$是否是定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B、C、D坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形讨论，利用方程组求交点坐标即可．
（3）是定值，定值为$\frac{1}{4}$．设过点P（-2，$\frac{3}{4}$）的直线为y=kx+b，则$\frac{3}{4}$=-2k+b，N₁（x₁，y₁），N₂（x₂，y₂），可得过点P的直线为y=kx+2k+$\frac{3}{4}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k+\frac{3}{4}}\\{y=-{x}^{2}-4x-3}\end{array}\right.$，消去y得到x²+（k+4）x+2k+$\frac{15}{4}$=0，得到x₁+x₂=-k-4，x₁x₂=2k+$\frac{15}{4}$，由y₁=kx₁+2k+$\frac{3}{4}$，y₂=kx₂+2k+$\frac{3}{4}$，可得y₁-y₂=k（x₁-x₂），利用两点间的距离公式求出N₁N₂，N₁P，N₂P即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（1，0），B（0，-3），
设直线BD的解析式为y=kx+b，把B、D两点坐标代入，$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-x-3．
∵抛物线经过点D（-3，0），C（-1，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x+3），把点B（0，-3）代入得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x-3．

（2）①当∠MDB=90°时，
∵DM⊥BD，
∵直线BD的解析式为y=-x-3，
∴直线DM的解析式为y=x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-{x}^{2}-4x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（-2，1）．
②当∠MBD=90°时，
∵BM⊥BD，
∵直线BD的解析式为y=-x-3，
∴直线BM的解析式为y=x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-{x}^{2}-4x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-8}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（-5，-8）．
综上所述，满足条件的点M坐标为（-2，1）或（-5，-8）．

（3）是定值，定值为$\frac{1}{4}$．
理由：设过点P（-2，$\frac{3}{4}$）的直线为y=kx+b，则$\frac{3}{4}$=-2k+b，N₁（x₁，y₁），N₂（x₂，y₂），
∴b=$\frac{3}{4}$+2k，
∴过点P的直线为y=kx+2k+$\frac{3}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k+\frac{3}{4}}\\{y=-{x}^{2}-4x-3}\end{array}\right.$，消去y得到x²+（k+4）x+2k+$\frac{15}{4}$=0，
∴x₁+x₂=-k-4，x₁x₂=2k+$\frac{15}{4}$，
∵∵y₁=kx₁+2k+$\frac{3}{4}$，y₂=kx₂+2k+$\frac{3}{4}$，
∴y₁-y₂=k（x₁-x₂），
∴N₁N₂=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=1+k²，
又∵N₁P=$\sqrt{（{x}_{1}+2）^{2}+（{y}_{1}-\frac{3}{4}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+2）^{2}+（k{x}_{1}+2k）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+2）^{2}}$，
同理可得，N₂P=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}+2）^{2}}$，
∴N₁P•N₂P=（1+k²）$\sqrt{[（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）]^{2}}$=（1+k²）$\sqrt{（2k+\frac{15}{4}-2k-8+4）^{2}}$=$\frac{1}{4}$（1+k²），
∴$\frac{{N}_{1}P•{N}_{2}P}{{N}_{1}{N}_{2}}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的运算等；几何方面，考查了两点间的距离公式、轴对称-最短路线问题等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求，属于中考压轴题．