Question

（2008•庆阳）一条抛物线y=x²+mx+n经过点（0，3）与（4，3）．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标；
（3）⊙P能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线y=x²+mx+n，使⊙P与两坐标轴都相切．（要说明平移方法）

Answer 1

【答案】分析：（1）因为抛物线过点（0，3）与（4，3），所以可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设点P的坐标为（x，y），分当⊙P与y轴相切及与y轴相切两种情况讨论，分别求出P点的坐标；
（3）根据（2）中求出的P点坐标可知它们横纵坐标的绝对值均不相同，故⊙P不能与两坐标轴都相切．设出平移后的抛物线解析式，再根据圆与直线相切的特点列出方程即可求出未知数的值，从而求出函数的解析式．
解答：解：（1）∵抛物线过（0，3）（4，3）两点，
∴（1分）
解得（2分）
∴抛物线的解析式是y=x²-4x+3，顶点坐标为（2，-1）．（3分）

（2）设点P的坐标为（x，y），
当⊙P与y轴相切时，有|x|=1，
∴x=±1．（5分）
由x=1，得y=1²-4+3=0；
由x=-1，得y=（-1）²-4（-1）+3=8．
此时，点P的坐标为P₁（1，0），P₂（-1，8）．（6分）
当⊙P与x轴相切时，有|y|=1，
∴y=±1．（7分）
由y=1，得x²-4x+3=1，解得；
由y=-1，得x²-4x+3=-1，解得x=2．
此时，点P的坐标为P₃（2-，1），P₄（2+，1），P₅（2，-1）．（9分）
综上所述，圆心P的坐标为：P₁（1，0），P₂（-1，8），P₃（2-，1），P₄（2+，1），P₅（2，-1）．
注：不写最后一步不扣分．

（3）由（2）知，不能．（10分）
设抛物线y=x²-4x+3上下平移后的解析式为y=（x-2）²-1+h，
若⊙P能与两坐标轴都相切，则|x|=|y|=1，
即x=y=1；或x=y=-1；或x=1，y=-1；或x=-1，y=1．（11分）
取x=y=1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=1．
取x=-1，y=-1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-9．
取x=1，y=-1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-1．
取x=-1，y=1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-7．
∴将y=x²-4x+3向上平移1个单位，或向下平移9个单位，或向下平移1个单位，或向下平移7个单位，就可使⊙P与两坐标轴都相切．（12分）
点评：本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，及圆的相关性质，比较复杂，是一道难度适中的题目．