Question

（2012•舟山）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论：
①

AG

AB

=

FG

FB

；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF=

2

3

AB；⑤S_△ABC=5S_△BDF，
其中正确结论的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；
由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，可确定结论②正确；
由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE，所以点F不是GE中点，可确定结论③错误；
由△AFG≌△AFD可得AG=

1

2

AB=

1

2

BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论④正确；
因为F为AC的三等分点，所以S_△ABF=

1

3

S_△ABC，又S_△BDF=

1

2

S_△ABF，所以S_△ABC=6S_△BDF，由此确定结论⑤错误．

解答：解：依题意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，∴

AG

BC

=

FG

FB

，
又AB=BC，∴

AG

AB

=

FG

FB

．
故结论①正确；
如右图，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4．
在△ABG与△BCD中，

∠3=∠4 AB=BC ∠BAG=∠CBD=90°

，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，∴AG=AD；
在△AFG与△AFD中，

AG=AD ∠FAG=∠FAD=45° AF=AF

，
∴△AFG≌△AFD（SAS），∴∠5=∠2，
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°，∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，即∠ADF=∠CDB．
故结论②正确；
∵△AFG≌△AFD，∴FG=FD，又△FDE为直角三角形，∴FD＞FE，
∴FG＞FE，即点F不是线段GE的中点．
故结论③错误；
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=

2

AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD=

1

2

AB=

1

2

BC；
∵△AFG∽△BFC，∴

AG

BC

=

AF

FC

，∴FC=2AF，
∴AF=

1

3

AC=

2

3

AB．
故结论④正确；
∵AF=

1

3

AC，∴S_△ABF=

1

3

S_△ABC；又D为中点，∴S_△BDF=

1

2

S_△ABF，
∴S_△BDF=

1

6

S_△ABC，即S_△ABC=6S_△BDF．
故结论⑤错误．
综上所述，结论①②④正确，
故答案为：①②④．

点评：本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．