Question

17．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a₁，第2幅图形中“●”的个数为a₂，第3幅图形中“●”的个数为a₃，…，以此类推，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{19}}$的值为（　　）

• A． $\frac{20}{21}$
• B． $\frac{61}{84}$
• C． $\frac{589}{840}$
• D． $\frac{431}{760}$

Answer 1

分析 首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．

解答 解：a₁=3=1×3，a₂=8=2×4，a₃=15=3×5，a₄=24=4×6，…，a_n=n（n+2）；
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{19}}$=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{4×6}$+…+$\frac{1}{19×21}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{21}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{20}$-$\frac{1}{21}$）=$\frac{589}{840}$，
故选C．

点评 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．