Question

19．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C，点D为AP的中点．求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

分析 连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．

解答 解：如图，连接OC、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
又∵∠ACP=180°-∠BCA=90°．
在Rt△APC中，D为AP的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AP=AD．
∴∠4=∠3．
又∵OC=OA，
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠4=∠PAB=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．
即OC⊥CD．
∴直线CD是⊙O的切线．

点评 本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质．正确的作出辅助线是解题的关键．