Question

如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、C的坐标分别为B（0，0），C（6，0），且∠B=60°．动点P、Q分别从点B、点D同时出发，点P以每秒2个单位的速度向点A移动；点Q以每秒3个单位的速度向点A移动．设两动点运动的时间为t秒，其中0＜t＜2．
（1）当t=

 

秒，△PCQ是等边三角形；
（2）记△POC的面积为S₁；△APQ的面积为S₂．试探求S₁+S₂有没有最小值？若有，求出最小值及此时点P的坐标；若没有，说明理由；
（3）是否存在t值，使PQ⊥AC？说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据菱形的性质证得△OCP≌△ACQ，从而得到PO=QA，根据点P以每秒2个单位的速度向点A移动；点Q以每秒3个单位的速度向点A移动，表示出PO=2t，AQ=6-3t，从而列出方程2t=6-3t求解；
（2）过点P作EF平行于y轴，分别交BC、AD于点E、F，分别表示出BP=2t，AQ=6-3t，得到PE=

3

t，PF=

3

（3-t），然后分别表示出S₁=3

3

t和S₂=

3 3

2

（2-t）（3-t），从而得到S₁+S₂=3

3

t+

3 3

2

（2-t）（3-t）确定最小值及点P的坐标；
（3）根据菱形的性质得AC平分∠BAD，根据若有AP=AQ，可得PQ⊥AC，但AP=6-2t，DQ=6-3t，AP≠DQ，从而的不存在t值，使PQ⊥AC．

解答：解：（1）∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴∠DCA=∠ACO=60°，
∴OC=AC，
当△PCQ是等边三角形时，CP=CP，∠QCP=60°，
∴∠QCA=∠PCB，
在△OCP和△ACQ中，

CQ=CP ∠ACQ=∠OCP OC=AC

∴△OCP≌△ACQ（SAS），
∴PO=QA，
∵点P以每秒2个单位的速度向点A移动；点Q以每秒3个单位的速度向点A移动，
∴PO=2t，AQ=6-3t，
∴2t=6-3t，
解得：t=

6

5

；

（2）过点P作EF平行于y轴，分别交BC、AD于点E、F，
根据题意得：BP=2t，AQ=6-3t，
∴PE=

3

t，PF=

3

（3-t），
∴S₁=3

3

t，S₂=

3 3

2

（2-t）（3-t），
∴S₁+S₂=3

3

t+

3 3

2

（2-t）（3-t）=

3 3

2

（t-

3

2

）²+

45 3

8

，
∴S₁+S₂有最小值，且最小值为

45 3

8

，
∴此时点P的坐标为（

3

2

，

3

2

3

）；

（3）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
若有AP=AQ，可得PQ⊥AC，
但AP=6-2t，AQ=6-3t，AP≠DQ，
∴不存在t值，使PQ⊥AC．

点评：本题考查了四边形的综合知识，题目中涉及的动点问题更是中考的热点考点之一，应加强训练，难度偏大．