Question

（1）如图所示，A、D、B三点在同一直线上，延长AO至E，使AE交CB于E，△ADC、△BDO为等腰直角三角形，试证明AO=BC，AO⊥BC
（2）若△BDO绕顶点D旋转一任意角度得到图2，请问（1）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图1，根据题意，△ADC、△BDO为等腰直角三角形，易证△ADO≌△CDB，可得∠DAO=∠DCB，AO=BC，又由∠DBC+∠DCB=90°，所以，在△AEB中，∠BAE+∠ABC=∠AEB=90°；
（2）如图2，令AO与BC相交于点F，OD与BC相交于点E，同理，可证得△ADO≌△CDB，可得AO=BC，∠AOD=∠CBD，又由∠CBD+∠DEB=90°，∠DEB=∠FEO，所以，△EFO中，∠FOE+∠FEO=90°，即可证得．

解答：证明：（1）如图1，延长AO至E，使AE交CB于E，
∵△ADC、△BDO为等腰直角三角形，
∴AD=CD，OD=BD，∠ADC=∠ODB=90°，
在△ADO和△CDB中，
∵

AD=CD ∠ADO=∠CDB OD=BD

，
∴△ADO≌△CDB（SAS），
∴∠DAO=∠DCB，AO=BC，
又∵∠DBC+∠DCB=90°，
∴在△AEB中，∠BAE+∠ABC=∠AEB=90°，
∴AO⊥BC；

（2）如图2，AO与BC相交于点F，OD与BC相交于点E，
同（1），可证得△ADO≌△CDB，
∴AO=BC，∠AOD=∠CBD，
又∵∠CBD+∠DEB=90°，∠DEB=∠FEO，
∴△EFO中，∠FOE+∠FEO=90°，
∴∠EFO=180°-90°=90°
∴AO⊥BC．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及旋转的性质，旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．