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(2010•淄博)已知直角坐标系中有一点A(-4,3),点B在x轴上,△AOB是等腰三角形.
(1)求满足条件的所有点B的坐标;
(2)求过O,A,B三点且开口向下的抛物线的函数表达式(只需求出满足条件的一条即可);
(3)在(2)中求出的抛物线上存在点P,使得以O,A,B,P四点为顶点的四边形是梯形,求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积.
【答案】分析:(1)根据点A的坐标,易求得OA=5,若△AOB是等腰三角形,应分三种情况考虑:
①OA=OB=5,由于点B的位置不确定,因此要分B在x轴正、负半轴两种情况求解,已知了OB的长,即可得到点B的坐标;
②OA=AB=5,此时点B只能在x轴负半轴上,那么点B的横坐标应为点A横坐标的2倍,可据此求得点B的坐标;
③AB=OB=5,此时点B只能在x轴负半轴上,可在x轴上截取AD=OA,通过构建相似三角形:△OBA∽△OAD,通过所得比例线段来求出OB的长,从而得到点B的坐标.
(2)任选一个(1)题所得的B点坐标,利用待定系数法求解即可.
(3)解此题时,虽然不同的抛物线有不同的解,但解法一致;分两种情况:
①OA∥BP时,可分别过A、P作x轴的垂线,设垂足为C、E,易证得△AOC∽△PBE,根据所得比例线段,即可求得点P的坐标.而梯形ABPO的面积可化为△ABO、△PBO的面积和来求出.
②OP∥AB时,方法同上,过P作PF⊥x轴于F,然后通过相似三角形:△ABC∽△POF,来求出P点坐标,梯形面积求法同上.(当OA=AB时,两种情况的点P正好关于抛物线对称轴对称,可据此直接求出P点坐标,避免重复计算.)
解答:解:作AC⊥x轴,由已知得OC=4,AC=3,OA==5.
(1)当OA=OB=5时,
如果点B在x轴的负半轴上,如图(1),点B的坐标为(-5,0);
如果点B在x轴的正半轴上,如图(2),点B的坐标为(5,0);

当OA=AB时,点B在x轴的负半轴上,如图(3),BC=OC,则OB=8,点B的坐标为(-8,0);
当AB=OB时,点B在x轴的负半轴上,如图(4),在x轴上取点D,使AD=OA,可知OD=8.
由∠AOB=∠OAB=∠ODA,可知△AOB∽△ODA,

解得OB=
点B的坐标为(-,0).


(2)当AB=OA时,抛物线过O(0,0),A(-4,3),B(-8,0)三点,
设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx,
可得方程组
解得a=

当OA=OB时,同理得

(3)当OA=AB时,若BP∥OA,如图(5),作PE⊥x轴,
则∠AOC=∠PBE,∠ACO=∠PEB=90°,
△AOC∽△PBE,
设BE=4m,PE=3m,则点P的坐标为(4m-8,-3m),
代入
解得m=3;
则点P的坐标为(4,-9),
S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48.
若OP∥AB,根据抛物线的对称性可得点P的坐标为(-12,-9),
S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48.


当OA=OB时,若BP∥OA,如图(6),作PF⊥x轴,
则∠AOC=∠PBF,∠ACO=∠PFB=90°,
△AOC∽△PBF,
设BF=4m,PF=3m,则点P的坐标为(4m-5,-3m),
代入
解得m=.则点P的坐标为(1,-),
S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=
若OP∥AB(图略),作PF⊥x轴,
则∠ABC=∠POF,∠ACB=∠PFO=90°,
△ABC∽△POF,
设点P的坐标为(-n,-3n),
代入
解得n=9.
则点P的坐标为(-9,-27),S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75.
点评:此题考查了等腰三角形的判定、二次函数解析式的确定、梯形的判定、图形面积的求法等知识.同时还考查了分类讨论的数学思想,一定要考虑全面,避免漏解.
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