Question

（2007•海南）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ADE≌△CDE；
（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；
（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据SAS可证△ADE≌△CDE；
（2）根据（1）的结论和图中各角的关系证明∠G=∠6，∠5=∠7即可；
（3）要使△ECG为等腰三角形，必须CE=CG，根据已知求得∠3的度数，再根据正切值进行计算求得．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠1=∠2=45°，DE=DE，（3分）
∴△ADE≌△CDE．（4分）

（2）证明：∵△ADE≌△CDE，
∴∠3=∠4，
∵CH⊥CE，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠6+∠5=90°，
∴∠4=∠6=∠3，
∵AD∥BG，
∴∠G=∠3，
∴∠G=∠6，
∴CH=GH，（6分）
又∵∠G+∠5=∠G+∠7=90°，
∴∠5=∠7，
∴CH=FH，（7分）
∴FH=GH．（8分）

（3）解：存在符合条件的x值此时，（10分）
∵∠ECG＞90°，要使△ECG为等腰三角形，必须CE=CG，
∴∠G=∠8，
又∵∠G=∠4，
∴∠8=∠4，（11分）
∴∠9=2∠4=2∠3，
∴∠9+∠3=2∠3+∠3=90°，
∴∠3=30°，
∴x=DF=1×tan30°=．（12分）
点评：此题综合性较强，主要考查了全等三角形的判定、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的判定．