Question

已知反比例函数y=

12k

x

和一次函数y=kx+2，其中一次函数的图象过（x₁，y₁），（x₂，y₂）两个不同的点，且满足

y2-y1

x2-x1

=

1

2

．如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，在x轴上存在点P，使以A、C、P为顶点的三角形与△AOB相似，则P点坐标是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：首先由一次函数的图象过（x₁，y₁），（x₂，y₂）两个不同的点，且满足

y2-y1

x2-x1

=

1

2

．可求得k的值，则可求得两个函数的解析式，即可求得点A，B，C的坐标，然后分别从当

AB

AC

=

AO

AP

，即

2 5

3 5

=

4

AP

时，△AOB∽△APC与当

AB

AP

=

AO

AC

，即

2 5

AP

=

4

3 5

时，△AOB∽△ACP，去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵一次函数y=kx+2的图象过（x₁，y₁），（x₂，y₂）两个不同的点，
∴y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
∵

y2-y1

x2-x1

=

1

2

，
∴

(kx2+2)-(kx1+2)

x2-x1

=

k(x2-x1)

x2-x1

=

1

2

，
∴k=

1

2

，
∴一次函数的解析式为：y=

1

2

x+2，反比例函数的解析式为：y=

6

x

，
联立

y= 1 2 x+2 y= 6 x

，
解得：

x=2 y=3

或

x=-6 y=-1

（舍去），
∴点C的坐标为：（2，3），
∵一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∴AB=

42+22

=2

5

，AC=

62+32

=3

5

，
∵∠BAO=∠CAO，
∴当

AB

AC

=

AO

AP

，即

2 5

3 5

=

4

AP

时，△AOB∽△APC，
解得：AP=6，
∴点P的坐标为：（2，0）；
当

AB

AP

=

AO

AC

，即

2 5

AP

=

4

3 5

时，△AOB∽△ACP，
解得：AP=7.5，
∴点P的坐标为：（3.5，0）；
∴P点坐标是：（2，0）或（3.5，0）．
故答案为：（2，0）或（3.5，0）．

点评：此题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，综合性很强，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．