Question

如图，设点M是等腰Rt△ABC的直角边AC的中点，AD⊥BM于E，AD交BC于D．求证：∠AMB=∠CMD（请用两种不同的方法证明）

Answer 1

证明：法（1）如图，延长AD至F，使得CF⊥AC，
∵AB⊥AC，AD⊥BM，
∴∠ABM=∠DAC，
又∵AB=AC，CF⊥AC，
∴△ABM≌△CAF，
∴∠BMA=∠F，AM=CF，
∵∠BCA=∠BCF=45°，AM=CM=CF，DC=DC，
∴△FCD≌△MCD，
∴∠AMB=∠F=∠CMD；

法（2）AD交BM于E，作∠BAC的平分线交BM于N，

∵AE⊥BM，BA⊥AC，
∴∠ABN=∠CAE，
∵∠BAN=∠C=45°，AB=AC，
∴△BAN≌△ACD．
∴AN=CD，
∵∠NAM=∠C=45°，AM=MC
∴△NAM≌△DCM，
∴∠AMB=∠CMD．
分析：法（1）先延长AD至F，使得CF⊥AC，得出∠ABM=∠DAC，再根据AB=AC，CF⊥AC，得出△ABM≌△CAF，从而证出∠BMA=∠F，AM=CF，再根据所给的条件得出△FCD≌△MCD，即可得出∠AMB=∠F=∠CMD；
法（2）先作∠BAC的平分线交BM于N，得出∠ABN=∠CAE，再根据∠BAN=∠C=45°，AB=AC，证出△BAN≌△ACD，得出AN=CD，证出△NAM≌△DCM，即可得出∠AMB=∠CMD．
点评：此题考查了解等腰直角三角形；解题的关键是根据题意画出图形，再根据解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判断与性质进行解答即可．