Question

5．正方形ABCD的位置在坐标系中如图，点A、D的坐标分别为（1，0）、（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…，按这样的规律进行下去，第2015个正方形的面积为（　　）

• A． $5•{（\frac{3}{2}）^{2013}}$
• B． $5•{（\frac{3}{2}）^{4026}}$
• C． $5•{（\frac{3}{2}）^{4028}}$
• D． $5•{（\frac{3}{2}）^{4030}}$

Answer 1

分析 推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，证△DOA∽△ABA₁，得出$\frac{B{A}_{1}}{AB}=\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，求出AB，BA₁，求出边长A₁C=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，求出面积即可；求出第3个正方形的边长$（\frac{3}{2}）^{2}\sqrt{5}$，面积$（\frac{9}{4}\sqrt{5}）^{2}$；第4个正方形的面积$[（\frac{3}{2}）^{2}]^{2}×（\sqrt{5}）^{2}$；依此类推得出第2015个正方形的边长是$（\frac{3}{2}）^{2015-1}\sqrt{5}$，面积是$5•（\frac{3}{2}）^{4028}$，即可得出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴$\frac{B{A}_{1}}{AB}=\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，
∵AB=AD=$\sqrt{5}$，
∴BA₁=$\frac{1}{2}\sqrt{5}$，
∴第2个正方形A₁B₁C₁C的边长A₁C=A₁B+BC=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，面积=$（\frac{3}{2}\sqrt{5}）^{2}=（\frac{3}{2}）^{2}•5$；
同理第3个正方形的边长是$（\frac{3}{2}）^{2}\sqrt{5}$，面积是：$（\frac{9}{4}\sqrt{5}）^{2}$；
第4个正方形的面积是$[（\frac{3}{2}）^{2}]^{2}×（\sqrt{5}）^{2}$；
…
第2015个正方形的边长是$（\frac{3}{2}）^{2015-1}\sqrt{5}$，面积是$5•（\frac{3}{2}）^{4028}$，
故选C

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．