Question

如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．
（1）求证：△ABE≌△DBC．
（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵等边△ABD和等边△BCE，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△DBC中，
∵，
∴△ABE≌△DBC（SAS）；

（2）△BMN为等边三角形，理由为：
证明：∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
又∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，
即∠MBE=∠NBC=60°，
在△MBE和△NBC中，
∵，
∴△MBE≌△NBC（ASA），
∴BM=BN，∠MBE=60°，
则△BMN为等边三角形．
分析：（1）由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等；
（2）三角形BMN为等边三角形，理由为：由第一问三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形．
点评：此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．同时做第二问时注意利用第一问已证的结论．