Question

如图，正方形ABCD中，点E为AB上一动点（不与A、B重合）．将△BCE沿CE对折至△FCE．延长EF交边AD于点G．
（1）连接AF，若AF∥CF，求证：点E为AB的中点；
（2）求证：GF=GD；
（3）若DA=12，设EB=x，DG=y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）利用对折性质和平行线的性质可证明∠EAF=∠EFA，进而证明EF=EA，又因为EB=EF，所以EA=EB，即E为AB中点；
（2）连接CG，利用“HL”证明Rt△CDG≌Rt△CFG即可；
（3）因为BE=x，则AE=AB-BE=12-x，又因为GF=GD，则AG=AD-DG=12-y，在直角三角形AEG中，利用勾股定理可得：AE²+AG²=EG²，把已知数据代入化简即可得到y与x的函数关系式．

解答：（1）证明：由对折性质得：EB=EF，∠CEB=∠CEF，
∵AF∥CE．
∴∠CEB=∠EAF，∠CEF=∠EFA，
∴∠EAF=∠EFA，
∴EF=EA，
∴EB=EA，
∴点E为AB的中点；                              
（2）证明：连接CG，正方形ABCD中，CD=BC，∠D=∠B=90°，
∵CF=CB，∠CFE=∠B=90°，
∴CF=CD，
∵CG=CG，
∴Rt△CDG≌Rt△CFG，
∴GF=GD；                                   
（3）解：∵BE=x，则AE=AB-BE=12-x，
∵GF=GD，则AG=AD-DG=12-y，
在Rt△AEG中，AE²+AG²=EG²，
∴（12-x）²+（12-y）²=（x+y）²，
故y与x的函数关系式y=

144-12x

12+x

．

点评：本题考查了折叠的性质、正方形的性质、平行线的性质以及直角三角形的全等判定方法和勾股定理的运用，题目的难度不大，但综合性不小．