Question

【题目】抛物线y=﹣x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D．

（1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）∠ACB和∠ABD是否相等？请证明你的结论；
（3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵将抛物线y=﹣x2平移，平移后的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），

∴平移后的抛物线的表达式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3，即y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）

解：∠ACB与∠ABD相等，理由如下：

如图，

∵y=﹣x2+2x+3，

∴点x=0时，y=3，即C点坐标为（0，3），

又∵B（3，0），∠BOC=90°，

∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．

在△BCD中，∵BC2=32+32=18，CD2=12+12=2，BD2=22+42=20，

∴BC2+CD2=BD2，

∴∠BCD=90°，

∴tan∠CBD= ，

∵在△AOC中，∠AOC=90°，

∴tan∠ACO= = ，

∴tan∠ACO=tan∠CBD，

∴∠ACO=∠CBD，

∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，

即∠ACB=∠ABD；

（3）

解：

∵点P在平移后的抛物线的对称轴上，而y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1，

∴可设P点的坐标为（1，n）．

∵△ABC是锐角三角形，

∴当△CDP与△ABC相似时，△CDP也是锐角三角形，

∴n＜4，即点P只能在点D的下方，

又∵∠CDP=∠ABC=45°，

∴D与B是对应点，分两种情况：

① 如果△CDP∽△ABC，那么 ，

即 ，

解得n= ，

∴P点的坐标为（1， ）；

② 如果△CDP∽△CBA，那么 ，

即 ，

解得n= ，

∴P点的坐标为（1， ）．

综上可知P点的坐标为（1， ）或（1， ）．

【解析】（1）根据平移不改变二次项系数a的值，且平移后的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），可知平移后抛物线的表达式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3，再运用配方法化为顶点式，即可求出顶点D的坐标；（2）先由B、C两点的坐标，得出∠OBC=∠OCB=45°，再根据勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，则由正切函数的定义求出tan∠CBD= ，在△AOC中，由正切函数的定义也求出tan∠ACO= ，得出∠ACO=∠CBD，则∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD；（3）设P点的坐标为（1，n），先由相似三角形的形状相同，得出△CDP是锐角三角形，则n＜4，再根据∠CDP=∠ABC=45°，得到D与B是对应点，所以分两种情况进行讨论：①△CDP∽△ABC；
②△CDP∽△CBA．根据相似三角形对应边的比相等列出关于n的方程，解方程即可．