Question

如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．

Answer 1

解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，

理由是：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA=90°，

∵OD=OA，

∴∠DAB=∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即OD⊥CE，

∴直线CD是⊙O的切线，

即直线CD和⊙O的位置关系是相切；

（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，

∴OC=2+3=5，OD=3，

在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，

∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，

∴DE=EB，∠CBE=90°，

设DE=EB=x，

在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE²=BE²+BC²，

则（4+x）²=x²+（5+3）²，

解得：x=6，

即BE=6．