Question

图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30^o，∠E= 45^o，∠EDF=∠ACB=90 ^o ，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．

（1）如图①，当DF经过点C　 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN．

（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中点．

     ∴BC=BD， ∠B=60°

     ∴△BCD是等边三角形．

     又∵CN⊥DB，

     ∴

     ∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形．

     ∴∠ADG=30°，而∠A=30°．

     ∴GA=GD．

∵GM⊥AB

∴

又∵AD=DB

∴AM=DN  

 

（2）∵DF∥AC

∴∠1=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°，

∴∠ADG=60°．

∵∠B=60°，AD=DB，

∴△ADG≌△DBH

∴AG=DH，

又∵∠1=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB，

∴△AMG≌△DNH．

∴AM=DN ．