Question

5．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于2或1．

Answer 1

分析 根据新定理，设最小角为x，则最大角为x+45°，再分类讨论：当顶点为x+45°时，根据三角形内角和可求得x=45°，则可判断此三角形为等腰直角三角形，易得此三角形的面积=2；当顶点为x时，根据三角形内角和定理可求得x=30°，所以此三角形为顶点为30度的等腰三角形，如图，AB=AC=2，∠A=30°，作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，利用∠A=30°可得CD=$\frac{1}{2}$AC=1，则根据三角形面积公式计算出三角形ABC的面积=$\frac{1}{2}$CD•AB=1，综上所述，该三角形的面积等于1或2．

解答 解：设最小角为x，则最大角为x+45°，
当顶点为x+45°时，则x+x+x+45°=180°，解得x=45°，所以此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
当顶点为x时，则x+x+45°+x+45°=180°，解得x=30°，所以此三角形为顶点为30度的等腰三角形，如图，AB=AC=2，∠A=30°，
作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴三角形ABC的面积=$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$×1×2=1，
综上所述，该三角形的面积等于1或2．
故答案为1或2．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．