Question

如图①，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，10），点P、Q同时从O点出发，在线段OB上做往返运动，点P往返一次需10s，点Q往返一次需6s．设动点P、Q运动的时间为x（s），动点离开原点的距离是y．
（1）当0≤x≤10时，画出点P，点Q的运动图象，并回答：
①点P从O点出发，1个往返之间与点Q相遇几次？（不包括O点）
②点P从O点出发，几秒后与点Q第一次相遇？
（2）如图②，在平面直角坐标系中，?OCDE的顶点C（6，0），D、E、B在同一直线上．分别过点P、Q作PM、QN垂直于y轴，P、Q为垂足．设运动过程中两条直线PM，QN与?OCDE围成图形（阴影部分）的面积是S，试求当x（0≤x≤5）为多少秒时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）①，当0≤x≤10时，点P即y=

2x(0≤x≤5) 20-2x(5＜x≤10)

；点Q即y=

10 3 x(0≤x≤3) 20- 10 3 x(3＜x≤6) 10 3 x-20(6＜x≤10)

正确画出图象后，根据交点情况进行分析；②根据图象回答．
（2）根据（1）中的交点进行分情况考虑．

解答：解：（1）如图：
①相遇两次；②3.75s．

（2）由题意可知：点p的速度为2，点Q的速度为

10

3

；
∵当0≤x≤3时，S=6（

10

3

x-2x）=8x．
当3＜x≤3.75时S=6[10-

10

3

（x-3）-2x]=-32x+120；
当3.75＜x≤5时，s=6[

10

3

（x-3）+2x-10]=32x-120；
∴在0≤x≤3内，当x=3时，S_最大值=24．
在3＜x≤3.75内，S=-32x+120，无最大值；
在3.75＜x≤5内，当x=5时，S_最大值=40；
综上：当x=5时，S_最大值=40．

点评：此题的中点是能够建立各段的函数关系式，从而结合图象进行分析．