Question

19．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点B，C，与直线AC：y=-x-6交y轴于点A，点M是抛物线的顶点，且横坐标为-2．
（1）求出抛物线的表达式．
（2）判断△ACM的形状并说明理由．
（3）直线CM交y轴于点F，在直线CM上是否存在一点P，使∠CMA=∠PAF，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得A、C的坐标，再结合对称轴为x=-2可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得M点坐标，利用勾股定理可求得AC、MC、AM的长，则可判断△ACM的形状；
（3）可设出P点坐标，由条件可证明△APF～△MPA，根据相似三角形的性质可得到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）在y=-x-6中，令x=0可得y=-6，令y=0可求得x=-6，
∴A（0，-6），C（-6，0），
∵顶点横坐标为-2，
∴对称轴为x=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{36a-6b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6；
（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6=$\frac{1}{2}$（x+2）²-8，
∴M（-2，-8），
∵A（0，-6），C（-6，0），
∴AM=$\sqrt{（0+2）^{2}+（-6+8）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{（-2+6）^{2}+（-8）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，AC=6$\sqrt{2}$，
∴AC²+AM²=72+8=80=CM²
∴△ACM为直角三角形；
（3）设直线CM的解析式为y=kx+b，
∵直线CM过C（-6，0）、M（-2，-8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{-2k+b=-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
∴直线CM解析式为y=-2x-12，
∴可设P点坐标为（n，-2n-12），且F（0，-12），
∴AP=$\sqrt{{n}^{2}+（-2n-12+6）^{2}}$=$\sqrt{5{n}^{2}+24n+36}$，PF=$\sqrt{{n}^{2}+（-2n-12+12）^{2}}$=$\sqrt{5}$|n|，AF=-6-（-12）=6，且AM=2$\sqrt{\sqrt{2}}$，
∵∠CMA=∠MAF+∠AFM，∠PAF=∠MAF+∠PAM，且∠CMA=∠PAF，
∴∠AFM=∠PAM，
又∠APF=∠MPA，
∴△APF～△MPA，
∴$\frac{PF}{AP}$=$\frac{AF}{AM}$，$\frac{\sqrt{5}|n|}{\sqrt{5{n}^{2}+24n+36}}$=$\frac{6}{2\sqrt{2}}$，
整理可得35n²+216n+324=0，解得n=-$\frac{18}{5}$或n=-$\frac{18}{7}$，
此时P点坐标为（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{24}{5}$）或（-$\frac{18}{7}$，-$\frac{48}{7}$），
当P点坐标为（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{24}{5}$）时，P点纵坐标大于A点纵坐标，
∴∠PAF为钝角，不合题意，舍去，
综上可知存在满足符合条件的P点，其坐标分别为（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{24}{5}$）或（-$\frac{18}{7}$，-$\frac{48}{7}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性质及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得AM、CM和AC的长是解题的关键，在（3）中用P点的坐标表示出相应线段的长，根据相似三角形的性质得到关于P点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．