Question

如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元．
探究1：如果木板边长为2米，FC=1米，则一块木板用墙纸的费用需________元；
探究2：如果木板边长为1米，当FC的长为多少时，一块木板需用墙纸的费用最省？最省是多少元？
探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省．

Answer 1

220
分析：（1）首先求出正方形EGFC和三角形ABE的面积，再求出剩余的面积，用个面积乘以所需费用，
（2）设EF=x，BF=（1-x）m，总费用为y元，用x表示出正方形EGFC和三角形ABE的面积，用x表示总费用，求出其最值；
（3）同（2）一样，设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，得到y=20x²-20ax+60a²，当x=a时，y有最小值，即墙纸费用最省．
解答：（1）∵CF=1，BC=2，
∴BF=1，
∴S_△ABE=×2×1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，
∴一块木板用墙纸的费用需=1×60+1×80+2×40=220（元）；
（2）设EF=xm，BF=（1-x）m，总费用为y元，
正方形EGFC的面积=x²，△ABE的面积=，
则空白面积为：1-x²-，
故总费用为：y=60x²+80×+40×（1-x²-）
=20x²-20x+60=20（x-）²+55，
故当x=时，总费用最省为55；
（3）设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，
∴S_△ABE=•（a-x）•a=（a²-ax），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=a²-（a²-ax）-x²=-x²+ax+a²，
∴y=（a²-ax）×80+x²•60+（-x²+ax+a²）•40
=20x²-20ax+60a²=20（x-a）²+55a²，
故当x=a时，y有最小值，即墙纸费用最省，
答：当正方形EFCG的边长为a时墙纸费用最省．
点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．