Question

△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，过△ABC的内切圆圆心，作DE∥BC，分别与AB，A C相交于点D，E，则DE的长为

 

．

Answer 1

分析：设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为h_a，由三角形的面积公式得出

r

ha

=

a

a+b+c

．再由△ADE∽△ABC，得出

ha-r

ha

=

DE

BC

，整理即可得出答案．

解答：解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为h_a，则

1

2

aha=S△ABC=

1

2

(a+b+c)r，
所以

r

ha

=

a

a+b+c

．
因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此

ha-r

ha

=

DE

BC

，
所以DE=

ha-r

ha

•a=(1-

r

ha

)a=(1-

a

a+b+c

)a=

a(b+c)

a+b+c

，
故DE=

8×(7+9)

8+7+9

=

16

3

．
故答案为

16

3

．

点评：本题考查了三角形的内切圆和相似三角形的判定和性质，是一道综合题难度较大．