Question

（2005•淮安）已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在四边形ABCD中，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据矩形的判定定理，先证DE=BE，再证∠DOE=90°，则可证．
（2）根据已知条件和（1）的结论，先求得AD：AB，易求解的值．
解答：（1）证明：连接OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=OB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BE，
∴EO⊥BD，
∴∠DOE=90°，
即∠DAE=90°，
又四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．

（2）解：∵四边形DEBF是菱形，
∴∠FDB=∠EDB，
又由题意知∠EDB=∠EDA，
由（1）知四边形ABCD是矩形，
∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°，
则∠ADB=60°，
∴在Rt△ADB中，有AD：AB=1：，
又BC=AD，
则．
说明：其他解法酌情给分
点评：本题考查矩形的判定定理及相关性质，直角三角形的性质等，难度偏难．