Question

16．已知抛物线y=x²-mx+m-2．
（1）求证：无论m为何值时此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）若x₁、x₂是抛物线y=x²-mx+m-2与x轴交点的横坐标且x₁²+x₂²=7，求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用完全平方公式得出△的符号，进而得出答案；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=m，x₁x₂=m-2，由x₁²+x₂²=7变形得（x₁+x₂）²-2x₁x₂=7，则m²-2（m-2）=7，进而得出答案．

解答 （1）证明：∵△=b²-4ac=m²-4（m-2）=（m-2）²+4，
由（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
∴无论m为何值时此抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）解：根据题意得x₁+x₂=m，x₁x₂=m-2，
∵x₁²+x₂²=7，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=7，
∴m²-2（m-2）=7，
整理得m²-2m-3=0，
解得：m₁=3，m₂=-1．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确应用根据系数的关系是解题关键．