Question

如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD₁⊥l于点D₁，过点E作EE₁⊥l于点E₁

（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E₁与E重合），试说明DD₁=AB；

（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD₁、EE₁、AB之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD₁、EE₁、AB之间的数量关系．（不需要证明）

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，

∴∠DAD₁+∠CAB=90°，

∵DD₁⊥AB，

∴∠DD₁A=∠ABC=90°，

∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，

∴∠ADD₁=∠CAB，

在△ADD₁和△CAB中，∠DD₁A=∠ABC  ∠ADD₁=∠CAB  AD=CA，

∴△ADD₁≌△CAB（AAS），

∴DD₁=AB；

（2）解：AB=DD₁+EE₁．

证明：过点C作CH⊥AB于H，

∵DD₁⊥AB，

∴∠DD₁A=∠CHA=90°，

∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，

∵四边形CADF是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=90°，

∴∠DAD₁+∠CAH=90°，

∴∠ADD₁=∠CAH，

在△ADD₁和△CAH中，∠DD₁A=∠CHA ∠ADD₁=∠CAH  AD=CA，

∴△ADD₁≌△CAH（AAS），

∴DD₁=AH；

同理：EE₁=BH，

∴AB=AH+BH=DD₁+EE₁；

（3）AB=DD₁-EE₁．

证明：过点C作CH⊥AB于H，

∵DD₁⊥AB，

∴∠DD₁A=∠CHA=90°，

∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，

∵四边形CADF是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=90°，

∴∠DAD₁+∠CAH=90°，

∴∠ADD₁=∠CAH，

在△ADD₁和△CAH中，∠DD₁A=∠CHA  ∠ADD₁=∠CAH  AD=CA，

∴△ADD₁≌△CAH（AAS），

∴DD₁=AH；

同理：EE₁=BH，

∴AB=AH-BH=DD₁-EE₁．

【解析】（1）由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠=∠CAB，然后利用AAS证得△≌△CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得；

（2）首先过点C作CH⊥AB于H，由⊥AB，可得∠∠CHA=90°，由四边形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠=∠CAH，然后利用AAS证得△≌△CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD₁=AH，同理EE₁=BH，则可得．

（3）证明方法同（2），易得