Question

如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，BD和PC相交于点E．给出下列结论：
①∠PBD=15°；
②△PDE为等腰三角形；
③△PDE∽△PCD；
④△PBD、正方形ABCD的面积分别为S₁，S，若S=4，则S₁=1．
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,等边三角形的性质,正方形的性质

专题：

分析：根据等边三角形性质得出∠PCB=60°，PC=BC，∠PBC=60°，根据正方形性质和等腰三角形性质求出∠DBC=45°，即可判断①；
根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠DPC=∠PDC=75°，即可判断②；
根据三角形相似的判定即可判断③；
根据三角形的面积求出△PBC，△DPC，△DBC的面积，即可判断④．

解答：解：∵△PBC是等边三角形，
∴∠PCB=60°，PC=BC，∠PBC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠DCB=90°，
∴∠DBC=45°，
∴∠PBD=60°-45°=15°，∴①正确；
∵∠DCB=90°，∠PCB=60°，
∴∠DCP=90°-60°=30°，
∵BC=PC，BC=CD，
∴PC=DC，
∴∠CPD=∠PDC=

1

2

（180°-30°）=75°，
∵∠DCP=30°，∠BDC=45°，
∴∠DEP=45°+30°=75°=∠DPC，
∴DP=DE，
∴△PDE为等腰三角形，∴②正确；
∵∠DPC=∠DPC，∠DEP=∠PDC=75°，
∴△PDE∽△DCP，∴③正确；
过P作PN⊥CD，PM⊥BC，
则∠PNC=∠PMC=90°，
∵正方形ABCD的面积是4，
∴BC=DC=2，
∵PC=BC，
∴PC=2，
∵∠DCP=30°，∠PNC=90°，
∴PN=

1

2

PC=1，PM=PC×sin60°=2×

3

2

=

3

，
∴S₁=S_△PBD
=S_△PBC+S_△PDC-S_△DBC
=

1

2

×2×

3

+

1

2

×2×1-

1

2

×2×2=

3

-1，∴④错误；
故答案为：①②③．

点评：本题考查了正方形性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形面积，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道中等题．