Question

6．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D₁的位置．设DP=x，△AD₁P与原纸片重叠部分的面积为y．
（1）当x为何值时，直线AD₁过点C？
（2）当x为何值时，直线AD₁过BC的中点E？
（3）求出y与x的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）根据折叠得出AD=AD₁=2，PD=PD₁=x，∠D=∠AD₁P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD₁中，根据勾股定理得出方程，求出即可；
（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD₁=AD=2，PD=PD₁=x，D₁E=$\sqrt{10}$-2，PC=3-x，在Rt△PD₁E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；
（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D₁在矩形ABCD的外部，PD₁交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x-a）²+2²=a²，求出a即可．

解答 解：（1）

如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD₁P，
∴AD=AD₁=2，PD=PD₁=x，∠D=∠AD₁P=90°，
∵直线AD₁过C，
∴PD₁⊥AC，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，CD₁=$\sqrt{13}$-2，
在Rt△PCD₁中，PC²=PD₁²+CD₁²，
即（3-x）²=x²+（$\sqrt{13}$-2）²，
解得：x=$\frac{2\sqrt{13}-4}{3}$，
∴当x=$\frac{2\sqrt{13}-4}{3}$时，直线AD₁过点C；

（2）如图2，

连接PE，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=1，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵AD₁=AD=2，PD=PD₁=x，
∴D₁E=$\sqrt{10}$-2，PC=3-x，
在Rt△PD₁E和Rt△PCE中，
x²+（$\sqrt{10}$-2）²=（3-x）²+1²，
解得：x=$\frac{2\sqrt{10}-2}{3}$，
∴当x=$\frac{2\sqrt{10}-2}{3}$时，直线AD₁过BC的中点E；


（3）如图3，

当0＜x≤2时，y=x，
如图4，

当2＜x≤3时，点D₁在矩形ABCD的外部，PD₁交AB于F，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3（根据折叠），
∴∠2=∠3，
∴AF=PF，
作PG⊥AB于G，
设PF=AF=a，
由题意得：AG=DP=x，FG=x-a，
在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x-a）²+2²=a²，
解得：a=$\frac{4+{x}^{2}}{2x}$，
所以y=$\frac{1}{2}×2×\frac{4+{x}^{2}}{2x}$=$\frac{{x}^{2}+4}{2x}$，
综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=$\frac{{x}^{2}+4}{2x}$．

点评 本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，用了分类推理思想．