Question

如图，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别为A、B，连接OC交弦AB于点D已知⊙O的半径为4，弦AB=4

3

（1）求证：OC垂直平分AB；
（2）求劣弧

AB

的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理可知CA=CB，∠ACO=∠BCO，结合等腰三角形三线合一的性质可知OC垂直平分AB；
（2）根据垂径定理可知BD的长度，利用三角函数sin∠BOD=

2 3

4

=

3

2

，可求∠BOD=60°即∠AOB=120°，再利用弧长公式求解即可．

解答：（1）证明：∵CA、CB是圆O的切线，
∴CA=CB，∠ACO=∠BCO．
∴OC垂直平分AB．

（2）解：连接OA、OB；
由（1）知，OD⊥AB，AB=4

3

；
∴BD=2

3

；
在Rt△OBD中，sin∠BOD=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠BOD=60°；
∴∠AOB=120°；
∴劣弧

AB

的长=

120×π×4

180

=

8

3

π．

点评：此题主要考查线段垂直平分线的性质在圆中的运用．本题要掌握的知识点是切线长定理、垂径定理、锐角三角函数等相关知识．