Question

5．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点E，边结CE、DE
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）当AE=2cm时，四边形CEDF是菱形．

Answer 1

分析 （1）只要证明△CFG≌△DEG，可得CF=DE，CF∥DE，即可推出四边形CEDF是平行四边形；
（2）当EF⊥CD时，四边形CEDF是菱形，在Rt△DEG中，由∠EGD=90°，DG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$cm，∠EDG=∠B=60°，推出∠DEG=30°，推出DE=2DG=3cm，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠CFG=∠DEG，
在△CFG和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFG=∠DEG}\\{∠CGF=∠DGE}\\{GC=GD}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△DEG，
∴CF=DE，∵CF∥DE，
∴四边形CEDF是平行四边形．

（2）解：∵四边形CEDF是平行四边形，
∴当EF⊥CD时，四边形CEDF是菱形，
在Rt△DEG中，∵∠EGD=90°，DG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$cm，∠EDG=∠B=60°，
∴∠DEG=30°，
∴DE=2DG=3cm，
∵AD=BC=5cm，
∴AE=AD-DE=2cm．
故答案为2．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．