Question

如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，BC=2，以线段BC的中点O为圆心，以OB为半径作圆，连结OA交⊙O于点M
（1）若∠ABO=120°，AO是∠BAD的平分线，求

BM

的长；
（2）若点E是线段AD的中点，AE=

3

，OA=2，求证：直线AD与⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）求出AB=BO，求出∠AOB，根据弧长公式求出即可；
（2）连接OD，OE，证出AO=OD，根据等腰三角形性质求出OE⊥暗淡，QIUC OE=OB，根据切线的判定推出即可．

解答：（1）解：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠AOB，
∵AO是∠BAD的平分线，
∴∠EAO=∠BAO，
∴∠BAO=∠AOB，
∵∠ABC=120°，BC=2，O是BC的中点，
∴∠AOB=∠BAO=30°，OA=OB=1，
∴

BM

的长是

30π×1

180

=

1

6

π；

（2）
证明：连接OD和OE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABO=∠DCO，
∵O为BC中点，
∴BO=CO，
∵在△ABO和△DCO中

AB=DC ∠ABO=∠DCO BO=CO

∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AO=OD，
∵E为AD中点，
∴OE⊥AD，
在Rt△AEO中，AE=

3

，AO=2，由勾股定理得：OE=1=BO，
即OE为半径，OE⊥AD，
∴直线AD与⊙O相切．

点评：本题考查了切线的判定，弧长公式，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点的综合运用．