Question

12．如图，边长为a正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上．在x轴上线段PQ=a（Q在A的右边），P从A出发，以每秒1个单位的速度向O运动，当点P到达点O时停止运动，运动时间为t．连接PB，过P作PB的垂线，过Q作x轴的垂线，两垂线相交于点D．连接BD交y轴于点E，连接PD交y轴于点F，连接PE．
（1）求∠PBD的度数．
（2）设△POE的周长为l，探索l与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（3）令a=4，当△PBE为等腰三角形时，求△EFD的面积．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠PBA=∠DPQ，进而判断出△BAP≌△PQD即可得出结论；
（2）先判断出△BAM≌△BCE，进而判断出△BPM≌△BPE，即可得出EP=MP=CE+AP，即可；
（3）分三种情况讨论计算即可．

解答 解：（1）∵∠APB+∠PBA=∠APB+∠DPQ=90°
∴∠PBA=∠DPQ
又∵∠BAP=∠PQD=90°，BA=PQ=a
∴△BAP≌△PQD
∴BP=PD
又∵BP⊥PD
∴∠PBD=45°　　　

（2）如图1，
延长PA至M，使得AM=CE
在△BAM与△BCE中$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BAM=∠BCE}\\{AM=CE}\end{array}\right.$
∴△BAM≌△BCE
∴∠MBA=∠EBC
∵∠EBC+∠ABP=45°
∴∠MBP=∠MBA+∠ABP=45°=∠EBP
在△BPM与△BPE中$\left\{\begin{array}{l}{BM=BE}\\{∠BPM=∠BPE}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△BPE
∴EP=MP=MA+AP=CE+AP
又∵l=EP+PO+EO=（CE+EO）+（AP+PO）=2AO
∴l=2a（0≤t≤a）

（3）①当?EP=EB时，如图2，
∵∠PBD=45°
∴EP⊥EB，E为BD中点，
即E与C重合，P与O重合
此时，S_△EFD=8
②?当PB=PE时，
∵∠PBD=45°
∴EP⊥PB （不存在）　　　　　　 
③当?BP=BE时，
∵BA=BC
∴△BAP≌△BCE，
∴CE=AP=t，
∴PE=2t
又∵OE=OP=4-t，
∴PE=$\sqrt{2}$（4-t），
∴$\sqrt{2}$（4-t）=2t  解得：t=4$\sqrt{2}$-4
∵△BAP≌△PQD，
∴AP=QD，
∴D（4$\sqrt{2}$-4，4$\sqrt{2}$-4），
∵P（4$\sqrt{2}$-8，0），
∴直线PD的解析式为y=（$\sqrt{2}$-1）x+12$\sqrt{2}$-16，
∴F（12$\sqrt{2}$-16，0）
∴EF=24-16$\sqrt{2}$
此时，S_△EFD=16（5$\sqrt{2}$-7）
综上所述：S_△EFD=8或S_△EFD=16（$\sqrt{2}$-7）

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，三角形的面积的计算方法，解（1）的关键是判断出△BAP≌△PQD，解（2）的关键是判断出△BAM≌△BCE，解（3）的关键是分类讨论的思想的应用，是一道中等难度的中考常考题．