Question

如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
求证：CA是圆的切线．

Answer 1

分析：由BC为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到△BDC为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，再由已知的角相等，等量代换可得出AC与BC垂直，进而确定出CA为圆的切线．

解答：证明：∵BC为圆的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠DCB=90°，
又∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BC为圆的直径，
∴CA为圆的切线．

点评：本题考查了切线的判定．证得∠ACB是直角是解题的关键．