Question

在直角坐标平面内，函数（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB．
（1）求出反比例函数解析式；
（2）若四边形ABCD的面积为4，求点B的坐标；
（3）在（2）的条件下请在图上连接OA，OB．并求出△AOB的面积．

Answer 1

解：（1）∵y=过点A（1，4），
∴m=xy=4，
∴反比例函数解析式为：y=；

（2）∵B（a，b）在y=上，
∴ab=4，
∵S_{四边形ABCD}=•BD•AC
∴a×4=4，
解得：a=2，
∴b=2，
B（2，2）；

（3）解：设直线AB为y=kx+b，将A（1，4），B（2，2）两点坐标代入，得
，
解得：k=-2，b=6，
∴直线AB解析式为：y=-2x+6，
直线AB与y轴的交点为E（0，6），
即OE=6，
∴S_△AOB=S_△BOE-S_△AOE=•OE•BD-•OE•OC
=×6×2-×6×1=3．
分析：（1）将点A（1，4）代入y=中求m，可确定反比例函数解析式；
（2）依题意可知AC⊥BD，当四边形对角线互相垂直时，四边形面积等于对角线积的一半，列方程求a、b的值；
（3）设直线AB为y=kx+b，将A（1，4），B（2，2）两点坐标代入可求直线AB解析式，从而确定直线与y轴的交点坐标，再根据S_△AOB=S_△BOE-S_△AOE求面积．
点评：此题主要考查反比例函数及一次函数解析式的求法，三角形及四边形面积的求法．注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．