Question

在等腰△ABC与等腰△DEF中，有AB=AC＞BC，DE=DF＞EF，且AB≠DE．请判断下面两个命题是否正确．若正确，请证明；若不正确，请举一个反例说明．
命题1：如果∠A+∠B=∠D+∠E，那么等腰△ABC与等腰△DEF相似；
命题2：如果AB+BC=DE+EF，那么等腰△ABC与等腰△DEF相似．

Answer 1

（1）正确．
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°=∠D+∠E+∠F=180°，
又∵∠A+∠B=∠D+∠E，
∴∠C=∠F．
∵在等腰△ABC与等腰△DEF中，有∠B=∠C，∠E=∠F，
∴等腰△ABC与等腰△DEF相似；

（2）不正确
反例：当AB=AC=5＞BC=3，DE=DF=7＞EF=1时，
等腰△ABC与等腰△DEF不相似．
说明：∵当AB=AC=5＞BC=3，DE=DF=7＞EF=1时，
尽管有AB+BC=DE+EF，
但是=≠
∴等腰△ABC与等腰△DEF不相似，即命题2不正确．
分析：（1）根据三角形内角和性质可以求得∠C=∠F，即可求证∠B=∠C、∠E=∠F，即可判定等腰△ABC与等腰△DEF相似；
（2）举出一个反例，并且证明其不相似即可解题．
点评：本题考查了等腰三角形底角相等的性质，相似三角形的判定，本题中证明∠B=∠C、∠E=∠F是解题的关键．